Ruchoma średnia notacja

Naukowiec i inżynier Przewodnik po cyfrowym przetwarzaniu sygnału Autor: Steven W. Smith, Ph. D. Rozdział 8: Dyskretna transformacja Fouriera i format rzeczywistego DFT Jak pokazano na rys. 8-3, dyskretna transformata Fouriera zmienia sygnał wejściowy punktu N na dwupunktowe sygnały wyjściowe. Sygnał wejściowy zawiera rozłożony sygnał, podczas gdy dwa sygnały wyjściowe zawierają amplitudy składowych sinusoidalnych i cosinusowych (skalowane w sposób, który omówimy wkrótce). Mówi się, że sygnał wejściowy znajduje się w domenie czasu. Dzieje się tak dlatego, że najczęstszym rodzajem sygnału wchodzącego do DFT są próbki pobrane w regularnych odstępach czasu. Oczywiście każdy rodzaj próbkowanych danych może być wprowadzony do DFT, niezależnie od tego, w jaki sposób został pozyskany. Kiedy widzisz termin "domena czasu" w analizie Fouriera, może on w rzeczywistości odnosić się do próbek pobranych w czasie lub może to być ogólne odniesienie do dowolnego dyskretnego sygnału, który jest rozkładany. Termin "dziedzina częstotliwości" jest używany do opisu amplitud fal sinusoidalnych i cosinusowych (w tym specjalne skalowanie, które obiecaliśmy wyjaśnić). Domena częstotliwości zawiera dokładnie te same informacje, co domena czasu, tylko w innej formie. Jeśli znasz jedną domenę, możesz obliczyć drugą. Biorąc pod uwagę sygnał w domenie czasu, proces obliczania domeny częstotliwości nazywany jest dekompozycją. analizy, forward DFT lub po prostu DFT. Jeśli znasz dziedzinę częstotliwości, obliczenie dziedziny czasu nazywa się syntezą. lub odwrotny DFT. Zarówno syntezę, jak i analizę można przedstawić w postaci równania i algorytmów komputerowych. Liczba próbek w dziedzinie czasu jest zwykle reprezentowana przez zmienną N. Podczas gdy N może być dowolną liczbą całkowitą dodatnią, zwykle wybiera się moc dwóch, to jest 128, 256, 512, 1024 itd. Istnieją dwa powody takiego stanu rzeczy. Po pierwsze, cyfrowe przechowywanie danych wykorzystuje adresowanie binarne, co daje moc dwóm naturalnej długości sygnału. Po drugie, najbardziej wydajny algorytm obliczania DFT, szybkiej transformaty Fouriera (FFT), zwykle działa z N, która jest potęgą dwóch. Zazwyczaj N jest wybierane pomiędzy 32 a 4096. W większości przypadków próbki biegną od 0 do N -1, a nie od 1 do N. Standardowa notacja DSP używa małych liter do reprezentowania sygnałów w domenie czasu, takich jak x, yi z. Odpowiednie wielkie litery są używane do reprezentowania ich domen częstotliwości, tj. X, Y i Z. Dla ilustracji przyjmijmy, że sygnał w N punkcie czasu jest zawarty w x n. Domena częstotliwości tego sygnału nazywa się X i składa się z dwóch części, z których każda jest tablicą próbek N2 1. Są one nazywane rzeczywistą częścią X. napisane jako: ReX. i wyimaginowana część X. napisany jako: ImX. Wartości w ReX są amplitudami fal cosinus, podczas gdy wartości w ImX są amplitudami fal sinusoidalnych (nie przejmując się chwilowymi czynnikami skalującymi). Tak jak dziedzina czasu przebiega od x n do x N -1, sygnały w domenie częstotliwości biegną od ReX 0 do ReX N 2, od ImX 0 do ImX N 2. Przestudiuj dokładnie te zapisy, które są krytyczne dla zrozumienia równań w DSP. Niestety, niektóre języki komputerowe nie rozróżniają między małymi i dużymi literami, co sprawia, że ​​nazwy zmiennych są do pojedynczego programisty. Programy w tej książce wykorzystują tablicę XX do przechowywania sygnału w domenie czasu, a tablice REX i IMX do przechowywania sygnałów w domenie częstotliwości. Nazwy części rzeczywistej i części urojonej pochodzą z kompleksu DFT, w którym są używane do rozróżniania liczb rzeczywistych od liczb urojonych. Nic tak skomplikowanego nie jest wymagane dla prawdziwego DFT. Dopóki nie dojdziesz do rozdziału 29, po prostu myśl, że prawdziwa część oznacza amplitudę fali cosinusoidalnej, podczas gdy część urojona oznacza amplitudę fali sinusoidalnej. Nie pozwól, aby te sugestywne imiona wprowadzały w błąd, że wszystko tutaj używa zwykłych liczb. Podobnie, nie należy wprowadzać w błąd przez długość sygnałów w dziedzinie częstotliwości. W literaturze DSP często pojawiają się takie stwierdzenia, jak: DFT zmienia sygnał w domenie czasu w punkcie N na sygnał w domenie częstotliwości w punkcie N. Dotyczy to złożonego DFT. gdzie każdy punkt jest liczbą zespoloną (składającą się z części rzeczywistych i urojonych). Na razie skup się na nauce prawdziwego DFT, trudna matematyka nadejdzie dość szybko. Naukowiec i inżynier Przewodnik po cyfrowym przetwarzaniu sygnału Autor: Steven W. Smith, Ph. D. Rozdział 8: Dyskretna transformata Fouriera Jak to zostało opisane do tej pory, domena częstotliwości jest grupą amplitud fal cosinusowych i sinusoidalnych (z niewielkimi modyfikacjami skalowania). Nazywa się to prostokątną notacją. Alternatywnie, domena częstotliwości może być wyrażana w postaci polarnej. W tym zapisie ReX ImX są zamieniane na dwie inne tablice, zwane Magnitude of X. zapisane w równaniach jako: Mag X i Faza X. napisany jako: Faza X. Faza i faza to zamiana par na parę dla części rzeczywistych i urojonych. Na przykład Mag X 0 i Phase X 0 są obliczane przy użyciu tylko ReX 0 i ImX 0. Podobnie, Mag X 14 i Phase X 14 są obliczane przy użyciu tylko ReX 14 i ImX 14, i tak dalej. Aby zrozumieć konwersję, zastanów się, co się stanie, gdy dodasz falę cosinusa i falę sinusoidalną o tej samej częstotliwości. Rezultatem jest fala cosinusowa o tej samej częstotliwości, ale z nową amplitudą i przesunięciem fazowym. W formie równania dwie reprezentacje są ze sobą powiązane: ważne jest to, że w procesie tym nie są tracone żadne informacje, ponieważ jedna reprezentacja pozwala obliczyć drugą. Innymi słowy, informacja zawarta w amplitudach A i B. jest również zawarty w zmiennych M i 952. Chociaż to równanie obejmuje fale sinusoidalne i cosinusowe, to ma takie same równania konwersji jak proste wektory. Rysunek 8-9 pokazuje analogiczną reprezentację wektorową, jak dwie zmienne, A i B. mogą być wyświetlane w prostokątnym układzie współrzędnych, a M i 952 są parametrami we współrzędnych biegunowych. W notacji polarnej, Mag X utrzymuje amplitudę fali cosinusowej (M w równaniu 8-4 i fig. 8-9), podczas gdy faza X utrzymuje kąt fazowy fali cosinusowej (952 w równaniu 8-4 i fig. 8-9). Następujące równania przekształcają dziedzinę częstotliwości z zapisu prostokątnego na biegunowy i odwrotnie: notacja prostokątna i polarna pozwala myśleć o DFT na dwa różne sposoby. W przypadku notacji prostokątnej, DFT rozkłada sygnał punktu N na fale nato - nowe N 2 1 i fale sinusoidalne N 2 1, każda o określonej amplitudzie. W notacji polarnej, DFT rozkłada sygnał punktu N na fale cosinusoidalne N 2 1, z których każda ma określoną amplitudę (zwaną wielkością) i przesunięcie fazowe. Dlaczego notacja polarna używa fal cosinus zamiast fal sinusoidalnych Fale sinusoidalne nie mogą reprezentować składowej stałej sygnału, ponieważ sinusoidalna fala o zerowej częstotliwości składa się ze wszystkich zer (patrz rys. 8-5 aampb). Chociaż reprezentacje biegunowe i prostokątne zawierają dokładnie te same informacje, istnieje wiele przypadków, w których jeden jest łatwiejszy w użyciu niż drugi. Na przykład, Fig. 8-10 pokazuje sygnał w dziedzinie częstotliwości zarówno w postaci prostokątnej, jak i polarnej. Ostrzeżenie: Nie próbuj zrozumieć kształtu rzeczywistych i urojonych części, które eksploduje Twojej głowie. Dla porównania, krzywe biegunowe są proste: obecne są tylko częstotliwości poniżej około 0,25, a przesunięcie fazowe jest w przybliżeniu proporcjonalne do częstotliwości. Jest to odpowiedź częstotliwościowa filtra dolnoprzepustowego. Kiedy powinieneś używać notacji prostokątnej i kiedy powinieneś używać polarnej Notacji prostokątnej jest zwykle najlepszym wyborem do obliczeń, takich jak równania i programy komputerowe. Dla porównania wykresy są prawie zawsze w formie polarnej. Jak pokazano w poprzednim przykładzie, jest prawie niemożliwe, aby ludzie zrozumieli charakterystykę sygnału w dziedzinie częstotliwości, patrząc na części rzeczywiste i urojone. W typowym programie sygnały w domenie częstotliwości są przechowywane w notacji prostokątnej, dopóki obserwator nie będzie musiał ich oglądać, po czym nastąpi konwersja prostokątna na biegunową. Dlaczego łatwiej jest zrozumieć domenę częstotliwości w notacji polarnej To pytanie leży u podstaw tego, dlaczego dekompozycja sygnału na sinusoidy jest użyteczna. Przypomnij sobie właściwość sinusoidalnej wierności z Rozdziału 5: jeśli sinusoid wchodzi do układu liniowego, wyjście będzie również sinusoidą i dokładnie na tej samej częstotliwości co wejście. Tylko amplituda i faza mogą się zmieniać. Notacja polarna bezpośrednio reprezentuje sygnały w kategoriach amplitudy i fazy fal cosinusów składowych. Z kolei systemy mogą być reprezentowane przez sposób, w jaki modyfikują amplitudę i fazę każdej z tych fal cosinus. Teraz zastanów się, co się stanie, jeśli w tym scenariuszu użyjemy notacji prostokątnej. Mieszanina fal cosinusowych i sinusoidalnych wchodzi do układu liniowego, co powoduje, że mieszanina fal cosinusowych i sinusoidalnych opuszcza układ. Problem polega na tym, że fala cosinusowa na wejściu może generować zarówno fale cosinus jak i sinusoidy na wyjściu. Podobnie, fala sinusoidalna na wejściu może skutkować zarówno falami cosinus jak i sinusoidalnymi na wyjściu. Chociaż te wzajemne warunki można wyprostować, ogólna metoda nie pasuje do tego, dlaczego chcieliśmy zastosować sinusoidy w pierwszej kolejności. Funkcja kursu zmiany kursu Instruktor: dr Jo Steig DEFINICJA: funkcja jest procesem, w którym każde wejście jest związane z dokładnie jednym wyjściem. Tworząc proces (lub serię kroków) do wykonania określonego zadania, często tworzymy funkcję. Jeśli chcemy go używać w kółko, aby ułatwić nam życie, nadajemy mu nazwę. Pomaga nam zapamiętać nazwę, kiedy ma coś wspólnego z opisywanym procesem. Funkcja Średnia stopa zmian opisuje średnią szybkość, z jaką zmienia się jedna wielkość w odniesieniu do czegoś innego. Jesteś już zaznajomiony z obliczeniami średniej stopy zmian: (a) Mile na galon - oblicza się przez podzielenie liczby mil przez liczbę użytych galonów (b) Koszt za zabicie - obliczony przez podzielenie kosztu energii elektrycznej przez liczbę zużytych killowatów (c) Mile na godzinę - obliczono przez podzielenie liczby mil przebytych przez liczbę godzin potrzebną na ich pokonanie. Ogólnie rzecz biorąc, średnia stawka funkcja zmiany jest procesem, który oblicza kwotę zmiany w jednej pozycji podzielone przez odpowiednią kwotę zmiany w innej. Korzystając z funkcji notacji, możemy zdefiniować Średnią szybkość zmiany funkcji f od a do x jako A jest nazwą tej funkcji średniej szybkości zmiany x - a reprezentuje zmianę wejścia funkcji ff (x) - f (a) reprezentuje zmianę funkcji f, ponieważ dane wejściowe zmieniają się z a na x Możliwe, że zauważyłeś, że funkcja Średnia częstość zmian wygląda podobnie do wzoru nachylenia linii. W rzeczywistości, jeśli weźmiesz dwa dowolne punkty na krzywej, (x 1, y 1) i (x 2, y 2), nachylenie linii łączącej punkty będzie średnią stopą zmiany z x 1 do x 2 Przykład 1: Znajdź nachylenie linii przechodzącej przez krzywą, gdy x zmienia się z 3 na 0. Krok 1: f (3) -1 i f (0) -4 Krok 2: Użyj wzoru nachylenia, aby utworzyć stosunek Krok 3: Uprość. Krok 4: Więc nachylenie linii przechodzącej przez krzywą jako x zmienia się z 3 na 0 wynosi 1. Przykład 2: Znajdź średnią szybkość zmiany od 3 do 0. Ponieważ średnia szybkość zmiany funkcji jest nachyleniem z powiązanej linii wykonaliśmy już pracę w ostatnim problemie. Oznacza to, że średnia szybkość zmiany z 3 na 0 wynosi 1. Oznacza to, że w przedziale 0,3, dla każdej zmiany 1 jednostki w x, występuje 1 jednostka zmiany wartości funkcji. Oto wykres funkcji, dwa zastosowane punkty i linia łącząca te dwa punkty. Załóżmy teraz, że musisz znaleźć serię nachyleń linii przechodzących przez krzywą i punkt (3, f (3)), ale drugi punkt nadal się porusza. Nazwimy drugi punkt (x, f (x)). Przydałby się proces (funkcja), który zrobi to właśnie dla nas. Funkcja średniej stopy zmian również zniekształca nachylenie, więc ten proces jest tym, czego użyjemy. Przykład 3: Znajdź średnią szybkość zmiany funkcji od 3 do x. Krok 2: Użyj formuły średniej stopy zmian, aby zdefiniować A (x) i uprość. Krok 3: Średnia funkcja stawki zmiany od 3 do x to Przykład 4: Użyj wyniku z Przykładu 3, aby znaleźć średnią szybkość zmiany od 3 do 6. Rozwiązanie: Średnia funkcja stawki zmiany od 3 do x Jest więc, średnia szybkość zmian od 3 do 6 wynosi A (6) 93 3. Przykład 5: Użyj wyniku z przykładu 3, aby znaleźć średnią stopę zmian od 3 do 0. Średnia stopa zmiany z 3 do 0 to A (0) 33 1. kopia 2009 Jo Steig